جواب کاردرکلاس صفحه 141 ریاضی دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 141 - فعالیت 1 سلام به شما دانش‌آموزان عزیز. در این فعالیت می‌خواهیم یاد بگیریم چطور معادله دایره‌ای را بنویسیم که بر یک دایره دیگر **مماس بیرونی** است. بیایید مرحله به مرحله پیش برویم: **۱. پیدا کردن مرکز دایره معلوم ($'O$):** معادله دایره داده شده $x^2 + y^2 + 2x - 4y - 4 = 0$ است. برای پیدا کردن مرکز، از فرمول های $h = -\frac{a}{2}$ و $k = -\frac{b}{2}$ استفاده می‌کنیم. در اینجا $a=2$ و $b=-4$ است. $h = -\frac{2}{2} = -1$ $k = -\frac{-4}{2} = 2$ پس مختصات مرکز دایره معلوم **$'O(-1, 2)$** است. **۲. پیدا کردن شعاع دایره معلوم ($'r$):** از فرمول $r = \sqrt{h^2 + k^2 - c}$ استفاده می‌کنیم که در آن $c=-4$ است. $'r = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 - (-4)} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ پس شعاع دایره معلوم برابر **۳** است. **۳. محاسبه طول $OO'$:** فاصله بین مرکز دایره مطلوب $O(2, -2)$ و مرکز دایره معلوم $'O(-1, 2)$ را حساب می‌کنیم: $OO' = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ **۴. بررسی شرط مماس بیرونی:** شرط اینکه دو دایره **مماس بیرونی** باشند این است که فاصله مراکز آن‌ها برابر با مجموع شعاع‌هایشان باشد ($OO' = r + r'$). بنابراین: $5 = r + 3 \Rightarrow r = 5 - 3 = 2$ پس شعاع دایره مورد نظر ما باید **۲** باشد. **۵. نوشتن معادله دایره مطلوب:** حالا مرکز $O(2, -2)$ و شعاع $r=2$ را داریم. معادله استاندارد دایره به این صورت است: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ **$(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 4$**

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 141 - فعالیت 2 در این تمرین می‌خواهیم با مثال‌های عددی، وضعیت‌های مختلف دو دایره نسبت به هم را در صفحه مختصات بررسی کنیم. **الف) دو دایره هم‌مرکز:** دو دایره زمانی **هم‌مرکز** هستند که مختصات مرکز آن‌ها کاملاً یکسان باشد اما شعاع‌های متفاوتی داشته باشند. فرض کنیم مرکز هر دو دایره مبدأ مختصات $(0, 0)$ باشد. معادله دایره اول با شعاع ۱: $x^2 + y^2 = 1$ معادله دایره دوم با شعاع ۲: $x^2 + y^2 = 4$ این دو دایره مرکز مشترک دارند ولی یکی درون دیگری قرار می‌گیرد. **ب) دو دایره بیرون هم:** شرط اینکه دو دایره **بیرون یکدیگر** باشند (هیچ نقطه اشتراکی نداشته باشند) این است که فاصله مراکز آن‌ها از مجموع شعاع‌هایشان بیشتر باشد ($OO' > r + r'$). بیایید یک مثال طراحی کنیم: دایره اول: مرکز $O(0, 0)$ و شعاع $r=1$ که معادله‌اش می‌شود $x^2 + y^2 = 1$ دایره دوم: مرکز $'O(5, 0)$ و شعاع $r'=1$ که معادله‌اش می‌شود $(x - 5)^2 + y^2 = 1$ در اینجا فاصله مراکز ۵ واحد است ($OO'=5$) و مجموع شعاع‌ها ۲ واحد است ($r+r'=2$). چون $5 > 2$ است، این دو دایره کاملاً **جدا و بیرون** از هم هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 141 - فعالیت 3 برای تعیین وضعیت دو دایره، همیشه اول مرکز و شعاع هر کدام را پیدا می‌کنیم و بعد فاصله مراکز را با مجموع یا تفاضل شعاع‌ها مقایسه می‌کنیم. **حل بخش الف:** دایره اول: $h_1 = -\frac{-2}{2} = 1$ و $k_1 = -\frac{4}{2} = -2$ و $c_1=0$. شعاع $r_1 = \sqrt{1^2 + (-2)^2 - 0} = \sqrt{5}$ دایره دوم: $h_2 = -\frac{2}{2} = -1$ و $k_2 = -\frac{-4}{2} = 2$ و $c_2=0$. شعاع $r_2 = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 - 0} = \sqrt{5}$ فاصله مراکز: $d = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ مجموع شعاع‌ها: $r_1 + r_2 = \sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$ چون $d = r_1 + r_2$ است، دو دایره **مماس بیرونی** هستند. **حل بخش ب:** دایره اول: مرکز $O_1(-1, 2)$ و شعاع $r_1 = 1$ دایره دوم: $h_2 = -\frac{-2}{2} = 1$ و $k_2 = -\frac{4}{2} = -2$ و $c_2=1$. شعاع $r_2 = \sqrt{1^2 + (-2)^2 - 1} = \sqrt{4} = 2$ فاصله مراکز: $d = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \approx 4.47$ مجموع شعاع‌ها: $r_1 + r_2 = 1 + 2 = 3$ چون $d > r_1 + r_2$ ($4.47 > 3$) است، این دو دایره **متخارج (بیرون هم)** هستند و هیچ نقطه اشتراکی ندارند.